Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，G、H分別為DC、BC的中點．

(1)求證：平面FGH∥平面BDE；
(2)求證：平面ACF⊥平面BDE.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

學生錯解：證明：

(1)如圖，設AC與BD交于點O，連結OE、OH.由已知EF＝AB，得EF∥AB.
∵OH∥=AB，∴EF∥=OH，∴四邊形OEFH為平行四邊形，∴FH∥EO.
∵G、H分別為DC、BC的中點，∴GH∥DB.∴平面FGH∥平面BDE.
(2)由四邊形ABCD為正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC，
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∵FH平面BFC，∴EF⊥FH.
∴AB⊥FH.又BF＝FC，H為BC的中點，∴FH⊥BC，∴FH⊥平面ABCD.
∴FH⊥AC.又FH∥EO，∴AC⊥EO.又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDE.
又AC平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDE.
審題引導：(1)探索求解過程的關鍵是弄清線線平行?線面平行?面面平行；線線垂直?線面垂直?面面垂直；不要跳步造成錯誤，如本例(1)，易出現由線線平行直接推得面面平行，從而導致證明過程錯誤．(2)正確理解運用線線、線面、面面的平行、垂直關系的判定定理和性質定理，特別注意將條件寫完整，不可遺漏，如本例(2)在證明線、面垂直時，沒有指出線線相交，就直接寫出線面垂直，造成導致證明過程不嚴謹．
規范解答：證明：(1)設AC與BD交于點O，連結OE、OH，由已知EF＝AB，得EF∥AB.(2分)
∵OH∥=AB，∴EF∥=OH，∴四邊形OEFH為平行四邊形，∴FH∥EO.(4分)
∵FH∥平面BDE，EO平面BDE，∴FH∥平面BDE.
∵G、H分別為DC、BC的中點，∴GH∥DB.
∵GH平面BDE，DB平面BDE，∴GH∥平面BDE.又∵FH∩GH＝H，
∴平面FGH∥平面BDE.(6分)
(2)由四邊形ABCD為正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC，(8分)
而EF⊥FB，BC∩FB＝B，∴EF⊥平面BFC.FH平面BFC，∴EF⊥FH.(10分)
∴AB⊥FH，又BF＝FC，H為BC的中點，∴FH⊥BC，AB∩BC＝B，∴FH⊥平面ABCD.
∴FH⊥AC，又FH∥EO，∴AC⊥EO.(12分)又AC⊥BD，EO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDE.
又AC平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDE.(14分)
錯因分析：證明兩平面平行、垂直關系時一定要正確運用兩平面平行或垂直的判定定理，并將相應的條件寫全．本題(1)直接由線線平行推得面面平行，不符合面面平行的判定定理，導致證明過程不嚴謹．(2)在證明線、面垂直時，沒有指出相交的條件；導致證題過程不正確．