Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線方程；

（Ⅱ）若在時(shí)，有恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）切線方程為：；（2）的最小值為.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及兩點(diǎn)連線斜率公式列方程解得切點(diǎn)以及斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，（2）先求最大值，再根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定最值，即得結(jié)果.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

設(shè)切線與曲線相切于 ，則切線斜率為

得切線方程為，由它過(guò)原點(diǎn)，代入

可得，即切線方程為：．

（Ⅱ）由題知

①當(dāng)時(shí)，恒有，得在上單調(diào)遞增，無(wú)最值，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，由，得，在上，有，單調(diào)遞增；

在上，有，單調(diào)遞減；

則在取得極大值，也為最大值，

由題意恒成立，即（）

（），再令，得

知在時(shí)，，遞減；知在時(shí)，，遞增；

，即的最小值為．