Question

【題目】如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，平面平面， ， 為的中點(diǎn).

(1)證明： ；

(2)若是棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 所以二面角的余弦值為．

【解析】試題分析：（1）證線線垂直，由平面平面得平面，再由底面圖形得線線垂直．(2)建系求面的法向量，得法向量的夾角．

解：

(1)證明：取中點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，連接， ，依題意得，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面， ，

所以平面，即平面，所以，

又因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以，又，所以平面，

而平面，所以.

(2)解：由(1)結(jié)合已知得： ， ， ，

以為原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)閭?cè)面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，

所以， ， ， ， ，

所以， ， ，

設(shè)平面的法向量為，

則由得，令，可取，

而平面的一個(gè)法向量，由圖可知二面角為銳角，

因?yàn)?/span>.

所以二面角的余弦值為.