Question

【題目】定義在上的函數，如果滿足；對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.已知函數.

（Ⅰ）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（Ⅱ）若是上的有界函數，且的上界為3，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若，求函數在上的上界的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（3，+∞），不是有界函數．（Ⅱ）﹣5≤a≤1；（Ⅲ）當時，T的取值范圍是；當時，T的取值范圍是[，）

【解析】

（Ⅰ）當a＝1時，易知f（x）在（0，+∞）上遞增，有f（x）＞f（0）＝3，再由給出的定義判斷；

（Ⅱ）根據函數f（x）在（﹣∞，0]上是以3為上界的函數，得到|1+2x+4x|≤3，換元以后得到關于t的不等式，根據二次函數的性質寫出對稱軸，求出a的范圍．

（Ⅲ）據題意先研究函數g（x）在[0，1]上的單調性，確定函數g（x）的范圍，即分別求的最大值和最小值，根據上界的定義，T不小于最大值，從而解決．．

（Ⅰ）當a＝1時，

因為f（x）在（0，+∞）上遞增，所以f（x）＞f（0）＝3，

即f（x）在（0，+∞）的值域為（3，+∞）故不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立

所以函數f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函數．

（Ⅱ）由已知函數f（x）在（﹣∞，0]上是以3為上界的函數，即：|1+a2x+4x|≤3

設t＝2x，所以t∈（0，1），不等式化為|1+at+t2|≤3

當0時，1且2+a≤3得﹣2≤a＜0

當或

即a≤﹣2或a≥0時，得﹣5≤a≤﹣2或0≤a≤1

綜上有﹣5≤a≤1

（Ⅲ），

∵m＞0，x∈[0，1]

∴g（x）在[0，1]上遞減，

∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

①當，即時，，

此時，

②當，即時，，

此時，

綜上所述，當時，T的取值范圍是；

當時，T的取值范圍是[，）