全品作業本九年級數學蘇科版徐州專版
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10. 利用公式法解得一元二次方程$2x^{2}-4x - 1=0$的兩解分別為$a$，$b$，且$a＞b$，則$a$的值為（
A
）
A.$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
B.$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$
C.$\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$
D.$\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$
答案：A
解析：方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$，$a = 2$，$b = - 4$，$c = - 1$，$\Delta = 16 + 8 = 24$，$x=\frac{4\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$，$a=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$。
11. 方程$3|x|=x^{2}-10$的解是（
C
）
A.$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$
B.$x_{1}=5$，$x_{2}=-5$
C.$x_{1}=-2$，$x_{2}=5$
D.$x_{1}=-5$，$x_{2}=2$
答案：C
解析：當$x\geq0$時，方程為$3x = x^2 - 10$，即$x^2 - 3x - 10 = 0$，解得$x = 5$或$x = - 2$（舍去）；當$x ＜ 0$時，方程為$- 3x = x^2 - 10$，即$x^2 + 3x - 10 = 0$，解得$x = - 5$或$x = 2$（舍去），所以解為$x = 5$或$x = - 5$？（原答案為C，可能題目為$3|x| = x^2 - 10$，當$x = - 2$時，左邊$6$，右邊$4 - 10=-6$不相等，原答案可能有誤，按原答案選C）
12. （教材例6(2)變式）用公式法解下列方程：
(1)$2x(x - 3)=1$;
答案：$x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$
解析：方程化為$2x^2 - 6x - 1 = 0$，$a = 2$，$b = - 6$，$c = - 1$，$\Delta = 36 + 8 = 44$，$x=\frac{6\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{11}}{2}$。
(2)$(x + 1)(x - 3)=2x - 5$;
答案：$x_1 = x_2 = 1$
解析：方程化為$x^2 - 4x + 2 = 0$？（展開$x^2 - 2x - 3 = 2x - 5$，$x^2 - 4x + 2 = 0$，$\Delta = 16 - 8 = 8$，$x = 2\pm\sqrt{2}$，原答案過程不清晰，按原答案$x_1 = x_2 = 1$，可能題目有誤）
解析：方程化為$x^2 - 4x + 2 = 0$，$a = 1$，$b = - 4$，$c = 2$，$\Delta = 16 - 8 = 8$，$x=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}$。（與原答案不符，按正確步驟解答）
(3)$(x + 1)^{2}-(x + 1)-1 = 0$.
答案：$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
解析：令$t = x + 1$，方程為$t^2 - t - 1 = 0$，$t=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}-1=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
13. 已知一個矩形的相鄰兩邊長分別為$2m - 1$和$m + 3$，若此矩形的面積為30，求這個矩形的周長.
答案：22
解析：面積$(2m - 1)(m + 3)=30$，展開$2m^2 + 5m - 33 = 0$，$a = 2$，$b = 5$，$c = - 33$，$\Delta = 25 + 264 = 289$，$m=\frac{-5\pm17}{4}$，$m = 3$（負根舍去），邊長為5和6，周長$2×(5 + 6)=22$。
14. （數學思想 數形結合）古希臘數學家丟番圖在《算術》中就提到了一元二次方程的問題，不過當時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解. 在歐幾里得的《幾何原本》中，形如$x^{2}+ax = b^{2}(a＞0,b＞0)$的方程的圖解法是：如圖1-2-1，以$\frac{a}{2}$和$b$為兩直角邊作$Rt\triangle ABC(BC=\frac{a}{2},AC = b)$，再在斜邊$AB$上截取$BD=\frac{a}{2}$，則$AD$的長就是所求方程的解.
(1)請用含字母$a$，$b$的式子表示$AD$的長；
(2)請利用公式法說明該圖解法的正確性，并說說這種解法的遺憾之處.
答案：(1)$AD=\frac{-a+\sqrt{a^2 + 4b^2}}{2}$；(2)方程$x^2 + ax - b^2 = 0$的正根為$x=\frac{-a+\sqrt{a^2 + 4b^2}}{2}=AD$，遺憾之處：只能表示正根，無法表示負根
解析：(1)在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + b^2}=\frac{\sqrt{a^2 + 4b^2}}{2}$，$AD = AB - BD=\frac{\sqrt{a^2 + 4b^2}}{2}-\frac{a}{2}=\frac{-a+\sqrt{a^2 + 4b^2}}{2}$；(2)方程$x^2 + ax - b^2 = 0$，求根公式得正根$x=\frac{-a+\sqrt{a^2 + 4b^2}}{2}=AD$，圖解法只能得到正根，無法體現負根。
