Question

15．某商店經銷一種健身球，已知這種健身球的成本價為每個20元，市場調查發現，該種健身球每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）有如下關系：y=-2x+80（20≤x≤40）．設這種健身球每天的銷售利潤為w元．
（1）求w與x之間的函數關系式；
（2）該種健身球銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
（3）如果物價部門規定這種健身球的銷售單價不高于28元，該商店銷售這種健身球每天要獲得150元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？

Answer 1

分析 （1）用每件的利潤（x-20）乘以銷售量即可得到每天的銷售利潤，即w=（x-20）y=（x-20）（-2x+80），然后化為一般式即可；
（2）把（1）中的解析式進行配方得到頂點式y=-2（x-30）²+200，然后根據二次函數的最值問題求解；
（3）求函數值為150所對應的自變量的值，即解方程-2（x-30）²+200=150，然后利用銷售價不高于每件28元確定x的值．

解答 解：（1）根據題意可得：w=（x-20）•y
=（x-20）（-2x+80）
=-2x²+120x-1600，
w與x的函數關系式為：w=-2x²+120x-1600；

（2）根據題意可得：w=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，
∵-2＜0，∴當x=30時，w有最大值．w最大值為200．
答：銷售單價定為30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元．

（3）當w=150時，可得方程-2（x-30）²+200=150．
解得 x₁=25，x₂=35．
∵35＞28，∴x₂=35不符合題意，應舍去．
答：該商店銷售這種健身球每天想要獲得150元的銷售利潤，銷售單價定為25元．

點評 本題考查了二次函數的實際應用：利用二次函數解決利潤問題，在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．