Question

7．如圖1，△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，∠BCA=90°，A（-1，-1），AC交x軸于D點，AB交y軸于E點，連接ED．
（1）求B點的坐標；
（2）求證：∠CDB=∠ADE；
（3）如圖2，P為線段CD上一點，過P點作x軸的平行線交BC于N，交AB的延長線于M，求PM+PN的值；
（4）如圖3，過E作EF∥BC交AC于F，求EF的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AF⊥y軸于F，只要證明△ACF≌△CBO，可得AF=OC，CF=OB，由A（-1，-1），推出AF=OF=OC=1，OB=CF=2，由此即可解決問題．
（2）如圖1中，將△AEF繞點A逆時針旋轉90°得到△AMN，只要證明△DAN≌△DAE，可得∠ADN=∠ADE，由∠ADN=∠CDB，推出∠CDB=∠ADE．
（3）由題意直線AC的解析式為y=2x+1，設P（m，2m+1），想辦法求出點M、N的坐標，求出PN、PM即可解決問題．
（4）求出點E坐標，求出AE、AB、BC，根據EF∥BC，得$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，作AF⊥y軸于F，

∵∠ACB=∠AFC=∠BOC=90°，
∴∠ACF+∠BCO=90°，∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠BCO=∠CAF，
在△ACF和△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠BCO}\\{∠AFC=∠BOC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBO，
∴AF=OC，CF=OB，
∵A（-1，-1），
∴AF=OF=OC=1，OB=CF=2，
∴B（2，0）．

（2）如圖1中，將△AEF繞點A逆時針旋轉90°得到△AMN，
∵∠AMO=∠AFO=∠MOF=90°，
∴四邊形AMOF是矩形，
∵AM=AF，
∴四邊形AMOF是正方形，
∵∠CAB=45°，
∴∠EAF+∠MAD=45°=∠NAM+∠MAD=∠NAD，
∴∠NAD=∠EAD，
在△ADN和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠DAN=∠DAE}\\{AN=AE}\end{array}\right.$，
∵△DAN≌△DAE，
∴∠ADN=∠ADE，
∵∠ADN=∠CDB，
∴∠CDB=∠ADE．

（3）如圖2中，

∵A（-1，-1），C（0，1），
∴直線AC的解析式為y=2x+1，設P（m，2m+1），
∵C（0，1），B（2，0），
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∵PM∥x軸，
∴點N與點P的縱坐標相同，2m+1=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴x=-4m，
∴N（-4m，2m+1），
∵A（-1，-1），B（2，0），
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
∵PM∥x軸，
∴點M與點P的縱坐標相同，2m+1=$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
∴x=6m+5，
∴M（6m+5，2m+1），
∴PN=-5m，PM=5m+5，
∴PN+PM=-5m+5m+5=5．

（4）如圖3中，

由（3）可知，直線AB的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
∴E（0，-$\frac{2}{3}$），
∵A（-1，-1），B（2，0），C（0，1），
∴AE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，AB=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{5}$，
∵EF∥BC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{EF}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{3}}{\sqrt{10}}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、一次函數的應用、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形，學會利用一次函數求交點坐標，屬于中考壓軸題．