Question

【題目】問題提出

(1)如圖①，在正方形ABCD中，對角線AC=8，則正方形ABCD的面積為　 　；

問題探究

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠DCB=90°，∠ADC+∠ABC=180°，若四邊形ABCD的面積為8，求對角線AC的長；

問題解決

(3)如圖③，四邊形ABCD是張叔叔要準備開發的菜地示意圖，其中邊AD和AB是準備用磚來砌的磚墻，且滿足AD=AB，∠DAB=90°，邊DC和CB是準備用現有的長度分別為3米和7米的竹籬笆來圍成的籬笆墻，即DC=3米，CB=7米．按照這樣的想法，張叔叔圍成的菜園里對角線AC的長是否存在最大值呢？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)32；(2)4；(3)存在，最大值為5．

【解析】

(1)先根據勾股定理求出AB的長，然后再根據面積公式解答即可；

(2)先說明△ADC'≌△ABC(SAS)，進而得出S△ADC'=S△ABC，AC'=AC，然后再根據面積公式解答即可；

(3先判斷出點D在CC'上時， AC最大，求出AC的長即可．

解：(1)∵AC是正方形的對角線，

∴∠B=90°，AB=BC，

在Rt△ABC中，AC=8，

根據勾股定理得，AB2+BC2=AC2，

∴2AB2=AC2=64，

∴AB2=32，

∴S正方形ABCD=32，

故答案為32；

(2)如圖②，延長CD至C'使DC'=BC，連接AC'，

∴∠ADC+∠ADC'=180°，

∵∠ADC+∠ABC=180°，

∴∠ADC'=∠ABC，

∵AD=AB，

∴△ADC'≌△ABC(SAS)，

∴S△ADC′=S△ABC，AC'=AC，

∴∠DAC'=∠BAC，

∴∠DAC'+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD=90°，

∴∠CAC'=90°，

∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ADC′+S△ADC=S△ACC′=8，

∵S△ACC′=ACAC'=AC2=8，

∴AC=4，

即AC的長為4；

(3)如圖③，

將△ABC繞點A逆時針旋轉90°得△ADC'，連接AC'，CC'，

由旋轉知，AC'=AC，C'D=BC，∠CAC'=90°，

當點D在CC'上時，AC最大

此時，CC'=CD+C'D=CD+BC=10，

∴AC2=CC'2=50，

∴AC=5．