Question

【題目】如圖1，△ABC和△DEC均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，連接BE，AD，兩條線段所在的直線交于點P.

（1）線段BE與AD有何數量關系和位置關系，請說明理由．

（2）若已知BC=12，DC=5，△DEC繞點C順時針旋轉，

①如圖2，當點D恰好落在BC的延長線上時，求AP的長；

②在旋轉一周的過程中，設△PAB的面積為S，求S的最值．

Answer 1

【答案】（1）BE=AD，BE與AD互相垂直，證明詳見解析；（2）①AP=；②最小47，最大72

【解析】

（1）由題意根據等腰三角形的性質以及全等三角形的判定與性質，進行分析與等量代換即可；

（2）①由題意根據解直角三角形的勾股定理以及相似三角形的判定與性質進行分析即可；

②由∠APB=90°可知點P在以AB為直徑的圓的一段弧上，且當BP與以CE為半徑⊙C相切時，點P在其運動路徑所在弧的兩個端點處，P到AB的距離最小，此時△PAB的面積S最小；當點P與點C重合時，P到AB的距離最大，此時△PAB的面積S最大.

解：（1）BE=AD，BE與AD互相垂直；

證明：∵等腰△ABC，等腰Rt△DEC，

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE，

∴BE=AD，∠CAD=∠CBE，

∵∠CAD+∠APB=∠CBE+∠ACB=∠AOB，

∴∠APB=∠ACB=90°，即BE與AD互相垂直.

（2）①∵AB=BC=12，DC=EC=5，

∴AE=AC-EC=12-5=7，

Rt△BCE中，BE=，

由（1）同理可知∠APB=∠ACB=90°，∠CAD=∠CBE，

∴△APE∽△BCE，

∴，即，解得AP=.

②由∠APB=90°可知點P在以AB為直徑的圓的一段弧上，且當BP與以CE為半徑⊙C相切時，點P在其運動路徑所在弧的兩個端點處，P到AB的距離最小，此時△PAB的面積S最小。如圖1、2，易知四邊形PDCE是邊長為5的正方形.

∴ BE=AD=，BP=BE+PE=，AP=AD-PD=，

∴S（最小值）=×AP×BP=，

當點P與點C重合時，P到AB的距離最大，此時△PAB的面積S最大，如圖3

S（最大值）=×AC×BC=×12×12=72.