Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．動點P以1cm/s的速度從點B出發，沿折線B﹣A﹣C運動到點C時停止運動．設點P出發x s時，△PBC的面積為y cm2 ． 已知y與x的函數圖象如圖②所示．請根據圖中信息，解答下列問題：
（1）試判斷△DOE的形狀，并說明理由；
（2）當a為何值時，△DOE與△ABC相似？

Answer 1

【答案】
（1）解：△DOE是等腰三角形．

理由如下：過點A作AM⊥BC于M，

∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，

∴AM= × = a，AC=AB= a，

∴S△ABC= BCAM= a2，

∴P在邊AB上時，

y= S△ABC= ax，

P在邊AC上時，

y= S△ABC= a2﹣ ax，

作DF⊥OE于F，

∵AB=AC，點P以1cm/s的速度運動，

∴點P在邊AB和AC上的運動時間相同，

∴點F是OE的中點，

∴DF是OE的垂直平分線，

∴DO=DE，

∴△DOE是等腰三角形

（2）解：由題意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，

∴AM= × = a，

∴AB= a，

∴D（ a， a2），

∵DO=DE，AB=AC，

∴當且僅當∠DOE=∠ABC時，△DOE∽△ABC，

在Rt△DOF中，tan∠DOF= = = a，

由 a=tan30°= ，得a= ，

∴當a= 時，△DOE∽△ABC．

【解析】（1）首先作DF⊥OE于F，由AB=AC，點P以1cm/s的速度運動，可得點P在邊AB和AC上的運動時間相同，即可得點F是OE的中點，即可證得DF是OE的垂直平分線，可得△DOE是等腰三角形；（2）設D（ a， a2），由DO=DE，AB=AC，可得當且僅當∠DOE=∠ABC時，△DOE∽△ABC，然后由三角函數的性質，即可求得當a= 時，△DOE∽△ABC．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的性質和解直角三角形，需要了解對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能得出正確答案．