Question

【題目】已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，且OB=OC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）判斷點O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，

∴∠BEC=∠CDB=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，

∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE=180°﹣∠CDB﹣∠CBD，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形

（2）解：點O在∠BAC的角平分線上．

理由：連接AO并延長交BC于F，

在△AOB和△AOC中，

∴△AOB≌△AOC（SSS）．

∴∠BAF=∠CAF，

∴點O在∠BAC的角平分線上．

【解析】（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，根據三角形的內角和等于180°，即可證得△ABC是等腰三角形；（2）首先連接AO并延長交BC于F，通過證△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即點O在∠BAC的角平分線上．
【考點精析】關于本題考查的角平分線的性質定理和等腰三角形的判定，需要了解定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等才能得出正確答案．