Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，直線l垂直平分線段AC，垂足為O，直線l分別與線段AD、CB的延長線交于點E、F．
（1）△ABC與△FOA相似嗎？為什么？
（2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∴△ABC∽△FOA，理由如下：

∵直線l垂直平分線段AC，

∴∠AFO=∠CFO，

∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，

∴∠AFO=∠CAB，

∵∠AOF=∠CBA=90°，

∴△ABC∽△FOA

（2）解：四邊形AFCE是菱形，理由如下：

由（1）知△ABC∽△FOA，

∴∠ACB=∠FAC，

∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠EAC，

∴∠FAC=∠EAC，

在△AOF與△AOE中，

，

∴△AOF≌△AOE（ASA），

∴AE=AF，FO=EO．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∴四邊形AFCE是菱形．

【解析】（1）根據角平分線的定義，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根據垂直的定義，矩形的性質可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可證△ABC與△FOA相似；（2）先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判斷．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用線段垂直平分線的性質和菱形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．