Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB的中點，Q為邊CD上一動點，設DQ=t（0≤t≤2），線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點M、N，過Q作QE⊥AB于點E，過M作MF⊥BC于點F．
（1）當t≠1時，求證：△PEQ≌△NFM；
（2）順次連接P、M、Q、N，設四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的函數關系式，并求S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，

∵QE⊥AB，MF⊥BC，

∴∠AEQ=∠MFB=90°，

∴四邊形ABFM、AEQD都是矩形，

∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE，

又∵PQ⊥MN，

∴∠1+∠EQP=90°，∠2+∠FMN=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠EQP=∠FMN，

又∵∠QEP=∠MFN=90°，

∴△PEQ≌△NFM

（2）解：分為兩種情況：①當E在AP上時，

∵點P是邊AB的中點，AB=2，DQ=AE=t，

∴PA=1，PE=1﹣t，QE=2，

由勾股定理，得PQ= = ，

∵△PEQ≌△NFM，

∴MN=PQ= ，

又∵PQ⊥MN，

∴S= = = t2﹣t+ ，

∵0≤t≤2，

∴當t=1時，S最小值=2．

②當E在BP上時，

∵點P是邊AB的中點，AB=2，DQ=AE=t，

∴PA=1，PE=t﹣1，QE=2，

由勾股定理，得PQ= = ，

∵△PEQ≌△NFM，

∴MN=PQ= ，

又∵PQ⊥MN，

∴S= = [（t﹣1）2+4]= t2﹣t+ ，

∵0≤t≤2，

∴當t=1時，S最小值=2．

綜上：S= t2﹣t+ ，S的最小值為2．

【解析】（1）由四邊形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而證得；（2）分為兩種情況：①當E在AP上時，由點P是邊AB的中點，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面積S，由t范圍得到S的最小值；②當E在BP上時，同法可求S的最小值．