Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點O，AE⊥BD，垂足為E，點F在線段OD上，∠EAO＝∠FCB，AE＝EF＝4，則AD的長為_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

過C點作CM⊥BD于M點，證明∠FCM=∠OCB，借助矩形性質及同角的余角相等，得到∠FCM=∠MCD，從而得到DM=MF=BE，在Rt△ABD中利用射影定理AE2=BEED，可求BE及MF、MD長，在Rt△BMC借助勾股定理求出BC長就是AD的值．

過C點作CM⊥BD于M點，

∴EM∥AE，

∴∠MCO＝∠EAO．

∵∠EAO＝∠FCB，

∴∠MCO＝∠FCB，

∴∠MCO﹣∠FCO＝∠FCB﹣∠FCO，

即∠FCM＝∠OCB．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠OCB＝∠OBC．

∵∠OBC+∠BDC＝90°，∠MCD+∠MDC＝90°，

∴∠OBC＝∠MCD．

∴∠MCF＝∠MCD．

∴FM＝MD．

在△AEB和△CMD中，

∴△AEB和△CMD(AAS)．

∴BE＝MD．

設BE＝MD＝MF＝x，

在Rt△ABD中，AE⊥BD，

易證△ABE∽△DAE，

∴AE2＝BEED，即16＝x(4+2x)，解得x＝2．

∴BM＝8．

在Rt△CMB中，利用勾股定理可得BC2＝BM2+MC2，

所以BC＝．

所以AD＝BC＝4．

故答案為：4．