Question

【題目】如圖，已知直線y=kx﹣6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，﹣4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（1，﹣4）代入y=kx﹣6，得k=2，

∴y=2x﹣6，

令y=0，解得：x=3，

∴B的坐標是（3，0）．

∵A為頂點，

∴設拋物線的解析為y=a（x﹣1）2﹣4，

把B（3，0）代入得：4a﹣4=0，

解得a=1，

∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3

（2）

解：存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴當∠POB=∠POC時，△POB≌△POC，

此時PO平分第二象限，即PO的解析式為y=﹣x．

設P（m，﹣m），則﹣m=m2﹣2m﹣3，解得m= （m= ＞0，舍），

∴P（ ， ）

（3）

解：①當∠Q1AB=90°時，△DAQ1∽△DOB，

∴ = ，即 = ，∴DQ1= ，

∴OQ1= ，即Q1（0， ）；

②當∠Q2BA=90°時，△BOQ2∽△DOB，

∴ = ，即 = ，

∴OQ2= ，即Q2（0， ）；

③當∠AQ3B=90°時，作AE⊥y軸于E，

則△BOQ3∽△Q3EA，

∴ = ，即 = ，

∴OQ32﹣4OQ3+3=0，∴OQ3=1或3，

即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．

綜上，Q點坐標為（0， ）或（0 ）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

【解析】（1）已知點A坐標可確定直線AB的解析式，進一步能求出點B的坐標．點A是拋物線的頂點，那么可以將拋物線的解析式設為頂點式，再代入點B的坐標，依據待定系數法可解．（2）首先由拋物線的解析式求出點C的坐標，在△POB和△POC中，已知的條件是公共邊OP，若OB與OC不相等，那么這兩個三角形不能構成全等三角形；若OB等于OC，那么還要滿足的條件為：∠POC=∠POB，各自去掉一個直角后容易發現，點P正好在第二象限的角平分線上，聯立直線y=﹣x與拋物線的解析式，直接求交點坐標即可，同時還要注意點P在第二象限的限定條件．（3）分別以A、B、Q為直角頂點，分類進行討論．找出相關的相似三角形，依據對應線段成比例進行求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．