Question

【題目】已知：點C、A、D在同一條直線上，∠ABC=∠ADE=α，線段 BD、CE交于點M．

（1）如圖1，若AB=AC，AD=AE

①問線段BD與CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；

（2）如圖2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE 則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為 ，∠BMC= （用α表示）；

（3）在（2）的條件下，把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接 EC并延長交BD于點M.則∠BMC= （用α表示）．

Answer 1

【答案】（1）①BD=CE，理由見解析，②180°－2α′；（2）BD=kCE，；（3）畫圖見解析，∠BMC=

【解析】分析：（1）①先根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC，則∠BAD=∠CAE，再根據(jù)SAS證明△ABD≌△ACE，從而得出BD=CE；②先由全等三角形的對應(yīng)角相等得出∠BDA=∠CEA，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=∠DAE=180°-2α；（2）先根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°-α，則∠BAD=∠CAE，再由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，則根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似證出△ABD∽△ACE，得出BD=kCE，∠BDA=∠CEA，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=∠DAE=90°-α；（3）先在備用圖中利用SSS作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，再根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°-α，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，從而證出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=90°+α．

本題解析：（1）①BD=CE，∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=α

∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α，同理可得：∠BAC=180°-2α

∴∠DAE =∠BAC∴∠DAE+∠BAE =∠BAC+∠BAE

即：∠BAD =∠CAE

在△ABD與△ACE中

,

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE

② ∵△ABD≌△ACE

∴∠BDA =∠CEA

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA

=∠EAD=180°－2α′

(2)如圖2.

∵AD=ED，∠ADE=α，

∴∠DAE= ，

同理可得：∠BAC=90°12α，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，

即：∠BAD=∠CAE.

∵AB=kAC，AD=kAE，

∴AB:AC=AD:AE=k.

在△ABD與△ACE中，

∵AB:AC=AD:AE=k，∠BDA=∠CEA，

∴△ABD∽△ACE，

∴BD:CE=AB:AC=AD:AE=k，∠BDA=∠CEA，

∴BD=kCE；

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°α.

（3）畫圖：∠BMC=