Question

【題目】小明將兩個全等的等腰三角板擺放在一起，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE＝12．

（1）如圖1，當D與C點重合時，CF、CE分別與AB交于M、N兩點，且量得AM＝3，BN＝4，小明發現AM、MN、BN存在某種數量關系，他想：當AM＝a，BN＝b，MN＝c時，這種數量關系仍成立嗎？請你一起探究并證明這個結論；

（2）如圖2，當等腰Rt△DEF的頂點D恰好在AB的中點處時，DE、DF分別與AC、BC交于M、N，小明經測量后猜想，AMBN是一個定值．你認可他的猜想嗎？說明理由，若猜想成立，請求出該定值．

（3）在（2）的條件下，△DEF繞點D旋轉，DE、DF所在的直線分別交線段AC和線段BC于點M、N，若CN＝2，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1）猜想：當AM＝a，BN＝b，MN＝c時，有a2+b2＝c2．，證明詳見解析；（2）小明的猜想正確，理由詳見解析；（3）MN的長為 ．

【解析】

（1）由小明量得的數據可猜想當AM=a，BN=b，MN=c時，有a2+b2=c2．可過點B作BG⊥AB，并使得BG=AM，連接CG、GN，從而將AM、NB歸結到Rt△NBG中，只需證MN=GN，只需證△MCN≌△GCN，只需證∠MCN=∠NCG，CM=CG，只需證△AMC≌△BGC即可．

（2）由∠A=∠EDF=∠B=45°可證△AMD∽△BDN，根據相似三角形的性質可得AMBN=ADBD=36，從而解決問題．

（3）由條件可求出CA、CB的長，然后由CN可求出BN，再借用（2）中的結論可求出AM，從而可求出CM，在Rt△MCN中運用勾股定理就可解決問題．

解：（1）∵AM＝3，BN＝4，AB＝12，

∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣3﹣4＝5，

∴AM2+BN2＝MN2．

猜想：當AM＝a，BN＝b，MN＝c時，有a2+b2＝c2．

理由如下：

過點B作BG⊥AB，并使得BG＝AM，連接CG、GN，如圖1，

則有∠ABG＝90°．

∵∠ABC＝45°，

∴∠GBC＝45°．

在△AMC和△BGC中，

，

∴△AMC≌△BGC（SAS），

∴CM＝CG，∠ACM＝∠BCG，

∴∠MCG＝∠ACB＝90°．

∵∠MCN＝45°，

∴∠NCG＝∠MCG﹣∠MCN＝45°，

∴∠MCN＝∠NCG．

在△MCN和△GCN中，

，

∴△MCN≌△GCN（SAS），

∴MN＝GN．

在Rt△NBG中，

∵∠NBG＝90°，

∴BN2+BG2＝GN2，

∴BN2+AM2＝MN2．

（2）小明的猜想正確．

理由如下：

如圖2，

由題可得∠A＝∠MDN＝∠B＝45°，

∵∠MDB＝∠A+∠AMD＝∠MDN+∠NDB，

∴∠AMD＝∠NDB，

∴△AMD∽△BDN，

∴＝，

∴AMBN＝ADBD．

∵D為AB的中點，AB＝12，

∴AD＝BD＝6，

∴AMBN＝36．

∴AMBN是一個定值，該定值為36．

（3）連接MN，如圖3，

在Rt△ACB中，

∵∠C＝90°，AC＝BC，AB＝12，

∴AC＝BC＝6．

∵CN＝2，∴BN＝4．

∵AMBN＝36．

∴AM＝，

∴CM＝CA﹣AM＝6﹣＝．

在Rt△MCN中，

∵∠C＝90°，

∴MN2＝CM2+CN2＝（）2+（2）2

＝. +8＝，

∴MN＝．

∴MN的長為．