Question

【題目】已知直線l：y=kx和拋物線C：y=ax2+bx+1．

（1）當k=1，b=1時，拋物線C：y=ax2+bx+1的頂點在直線l：y=kx上，求a的值；

（2）若把直線l向上平移k2+1個單位長度得到直線r，則無論非零實數k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點；

（i）求此拋物線的解析式；

（ii）若P是此拋物線上任一點，過點P作PQ∥y軸且與直線y=2交于點Q，O為原點，

求證：OP=PQ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a=﹣；（Ⅱ）（i）y=﹣ x2+1；（ii）證明見解析.

【解析】

（1）可用a表示出拋物線的頂點坐標,再代入直線方程可求得a的值,

（2）（i）由于k為任意非零實數,可取k=1和k=2,再聯立兩解析式消去y,得到的一元二次方程有兩個相等的實數根可得到兩個關于a、b的方程,可求得a、b的值,即可求得拋物線解析式; （ii）設出P點坐標,連接OP,過P作PQ⊥直線y=2,作PD⊥x軸于點D,可分別表示出OP和PQ,可證明其相等

解：（1）將k=1，b=1代入得：拋物線的解析式為y=ax2+x+1，直線的解析式為y=x．

∵y=ax2+x+1=a（x+ ）2+1﹣ ，

∴拋物線的頂點為（﹣ ，1﹣ ）．

∵拋物線的頂點在直線y=x上，

∴﹣ =1﹣ ，

解得：a=﹣ ．

（2）（i）將直線y=kx向上平移k2+1個單位，所得直線的解析式為y=kx+k2+1．

∵無論非零實數k取何值，直線與拋物線都只有一個交點，

∴方程kx+k2+1=ax2+bx+1有兩個相等的實數根，即ax2+（b﹣k）x﹣k2=0有兩個相等的實數根，

∴△=（b﹣k）2+4ak2=（4a+1）k2﹣2bk+b2=0．

∵無論非零實數k取何值時，（4a+1）k2﹣2bk+b2=0恒成立，

∴4a+1=0且b=0，

∴a=﹣ ，b=0．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+1．

（ii）證明：根據題意，畫出圖象如圖所示：

設點P的坐標為（x，﹣ x2+1）則點Q的坐標為（x，2），D（x，0）．

∴PD=|﹣ x2+1|，OD=|x|，QP=2﹣（﹣ x2+1）= x2+1．

在Rt△OPD中，依據勾股定理得：OP= = = x2+1．

∴OP=PQ