Question

【題目】已知△ABC的邊AB是⊙O的弦．

（1）如圖1，若AB是⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，且DM⊥AC于M，請判斷直線DM與⊙O的位置關系，并給出證明；

（2）如圖2，AC交⊙O于點E，若E恰好是的中點，點E到AB的距離是8，且AB長為24，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）DM是⊙O的切線，證明見解析；（2）13．

【解析】（1）根據圓與等腰三角形的性質得出∠ODB=∠C，從而得到OD∥AC，再利用平行線的性質和切線的判定定理即可證明；

（2）利用垂徑定理及勾股定理即可求解.

證明：（1）連接OD．

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DM⊥AC，

∴DM⊥OD，

∴DM是⊙O的切線．

（2）連接OA、連接OE交AB于點H，

∵E 是中點，AB=24，

∴OE⊥AB，AH=AB=12，

連接OA，設OA=x，

∵EH=8，可得OH=x﹣8，

在Rt△OAH中，根據勾股定理可得（x﹣8）2+122=x2，

解得x=13，

∴⊙O的半徑為13．