Question

8．如圖，將邊長為2cm的正方形繞其中心旋轉45°，則兩個正方形公共部分（陰影部分）的面積為（8$\sqrt{2}$-8）cm²．

Answer 1

分析 如圖，設正方形的中心點為O，利用正方形的性質得∠OMC=∠OCM，∠OMB=∠OCB=45°，則∠BMC=∠BCM，所以BM=BC，再根據旋轉的性質得∠ABM=∠CBD=45°，于是可判斷△ABM和△BCD為全等的等腰直角三角形，所以AB=BD，同理可得AF=AB，AE=AM=BC，設BC=x，則AE=x，BD=$\sqrt{2}$x，AB=AF=$\sqrt{2}$x，利用正方形的邊長為2得x+$\sqrt{2}$x+x=2，解得x=2-$\sqrt{2}$，然后利用正方形的面積減去4個三角形的面積即可得到兩個正方形公共部分（陰影部分）的面積．

解答 解：如圖，設正方形的中心點為O，
∵點M和點C到正方形的中心的距離相等，即OM=OC，
∴∠OMC=∠OCM，
而∠OMB=∠OCB=45°，
∴∠BMC=∠BCM，
∴BM=BC，
∵正方形繞其中心旋轉45°，
∴∠ABM=∠CBD=45°，
∴△ABM和△BCD為全等的等腰直角三角形，
∴AB=BD，
同理可得AF=AB，AE=AM=BC，
設BC=x，則AE=x，BD=$\sqrt{2}$x，
∴AB=AF=$\sqrt{2}$x，
∵AE+AB+BC=2，
∴x+$\sqrt{2}$x+x=2，解得x=2-$\sqrt{2}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$•（2-$\sqrt{2}$）²=3-2$\sqrt{2}$，
∴兩個正方形公共部分（陰影部分）的面積=2²-4×（3-2$\sqrt{2}$）=（8$\sqrt{2}$-8）cm²．
故答案為（8$\sqrt{2}$-8）．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質．