Question

18．已知，如圖，△ABC和△DBE均為等腰直角三角形，其中∠ABC=90°，∠DBE=90°．
（1）求證：AD=CE；
（2）求證：AD和CE垂直．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質得出AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，得出∠ABD=CBE，證出△ABD≌△CBE（SAS），得出AD=CE；
（2）△ABD≌△CBE得出∠BAD=∠BCE，再由∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，得出∠AFC=∠ABC=90°，證出結論．

解答 （1）證明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
即∠ABD=CBE，
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE；

（2）證明：延長AD分別交BC和CE于G和F，如圖所示：
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
又∵∠BGA=∠CGF，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
∴∠AFC=∠ABC=90°，
∴AD⊥CE．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定與性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵．