Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點，F為BE上的一點，連結CF并延長交AB于點M，MN⊥CM交射線AD于點N．
（1）當F為BE中點時，求證：AM=CE；
（2）若 =2，求 的值；
（3）若 =n，當n為何值時，MN∥BE？

Answer 1

【答案】
（1）解：當F為BE中點時，如圖1，則有BF=EF．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC，AB∥DC，

∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．

在△BMF和△ECF中，

，

∴△BMF≌△ECF，

∴BM=EC．

∵E為CD的中點，

∴EC= DC，

∴BM=EC= DC= AB，

∴AM=BM=EC

（2）解：如圖2所示：

設MB=a，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，

∴△ECF∽△BMF，

∴ =2，

∴EC=2a，

∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB﹣MB=3a．

∵ =2，

∴BC=AD=2a．

∵MN⊥MC，

∴∠CMN=90°，

∴∠AMN+∠BMC=90°．

∵∠A=90°，

∴∠ANM+∠AMN=90°，

∴∠BMC=∠ANM，

∴△AMN∽△BCM，

∴ ，

∴ = ，

∴AN= a，ND=AD﹣AN=2a﹣ a= a，

∴ = =3

（3）解：當 =n時，如圖3：

設MB=a．

∵△MFB∽△CFE，

∴ = ，即 ，解得EC=an．

∴AB=2an．

又∵ =n，

∴ ，

∴BC=2a．

∵MN∥BE，MN⊥MC，

∴∠EFC=∠HMC=90°，

∴∠FCB+∠FBC=90°．

∵∠MBC=90°，

∴∠BMC+∠FCB=90°，

∴∠BMC=∠FBC．

∵∠MBC=∠BCE=90°，

∴△MBC∽△BCE，

∴ ，

∴ ，

∴n=4．

【解析】（1）如圖1，易證△BMF≌△ECF，則有BM=EC，然后根據E為CD的中點及AB=DC就可得到AM=EC；（2）如圖2，設MB=a，易證△ECF∽△BMF，根據相似三角形的性質可得EC=2a，由此可得AB=4a，AM=3a，BC=AD=2a．易證△AMN∽△BCM，根據相似三角形的性質即可得到AN= a，從而可得ND=AD﹣AN= a，就可求出 的值；（3）如圖3，設MB=a，依據相似三角形的性質可得BC=2a，CE=na．由MN∥BE，MN⊥MC可得∠EFC=∠HMC=90°，從而可證到△MBC∽△BCE，然后根據相似三角形的性質即可求出n的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解矩形的性質的相關知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．