Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx（a≠0）的圖象經過點A（1，4），對稱軸是直線x=﹣ ，線段AD平行于x軸，交拋物線于點D．在y軸上取一點C（0，2），直線AC交拋物線于點B，連結OA，OB，OD，BD．

（1）求該二次函數的解析式；
（2）求點B坐標和坐標平面內使△EOD∽△AOB的點E的坐標；
（3）設點F是BD的中點，點P是線段DO上的動點，問PD為何值時，將△BPF沿邊PF翻折，使△BPF與△DPF重疊部分的面積是△BDP的面積的 ？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=ax2+bx（a≠0）的圖象經過點A（1，4），且對稱軸是直線x=﹣ ，

∴ ，

解得： ，

∴二次函數的解析式為y=x2+3x

（2）

解：如圖1，

∵點A（1，4），線段AD平行于x軸，

∴D的縱坐標為4，

∴4=x2+3x，

∴x1=﹣4，x2=1，

∴D（﹣4，4）．

設直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得： ，

∴y=2x+2；

當2x+2=x2+3x時，

解得：x1=﹣2，x2=1（舍去）．

∴y=﹣2．

∴B（﹣2，﹣2）．

∴DO=4 ，BO=2 ，BD=2 ，OA= ．

∴DO2=32，BO2=8，BD2=40，

∴DO2+BO2=BD2，

∴△BDO為直角三角形．

∵△EOD∽△AOB，

∴∠EOD=∠AOB， ，

∴∠AOB﹣∠AOD=∠EOD﹣∠AOD，

∴∠BOD=∠AOE=90°．

即把△AOB繞著O點順時針旋轉90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A1

∴A1（4，﹣1），

∴E（8，﹣2）．

作△AOB關于x軸的對稱圖形，所得點E的坐標為（2，﹣8）．

∴當點E的坐標是（8，﹣2）或（2，﹣8）時，△EOD∽△AOB

（3）

解：由（2）知DO=4 ，BO=2 ，BD=2 ，∠BOD=90°．

若翻折后，點B落在FD的左下方，連接B′P與BD交于點H，連接B′D，如圖2．

S△HFP= S△BDP= S△DPF= S△B′PF=S△DHP=S△B′HF，

∴DH=HF，B′H=PH，

∴在平行四邊形B′FPD中，PD=B′F=BF= BD= ；

若翻折后，點B，D重合，S△HFP= S△BDP，不合題意，舍去．

若翻折后，點B落在OD的右上方，連接B′F交OD于點H，連接B′D，如圖3，

S△HFP= S△BDP= S△BPF= S△DPF= S△B′PF=S△DHF=S△B′HP

∴B′P=BP，B′F=BF，DH=HP，B′H=HF，

∴四邊形DFPB′是平行四邊形，

∴B′P=DF=BF，

∴B′P=BP=B′F=BF，

∴四邊形B′FBP是菱形，

∴FD=B′P=BP= BD= ，根據勾股定理，得

OP2+OB2=BP2，

∴（4 ﹣PD）2+（2 ）2=（ ）2，

解得PD=3 ，PD=5 ＞4 （舍去），

綜上所述，PD= 或PD=3 時，將△BPF沿邊PF翻折，使△BPF與△DPF重疊部分的面積是△BDP的面積的 ．

【解析】（1）運用待定系數法和對稱軸的關系式求出a、b的即可；（2）由待定系數法求出直線AC的解析式，由拋物線的解析式構成方程組就可以求出B點的坐標，由相似三角形的性質及旋轉的性質就可以得出E的坐標；（3）分情況討論當點B落在FD的左下方，點B，D重合，點B落在OD的右上方，由三角形的面積公式和菱形的性質的運用就可以求出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．