Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點（點C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點C時，與x軸的另一點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H．

（1）求a、c的值．
（2）連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由．
（3）現將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交于點P，是否存在這樣的點Q，使以點P、Q、E為頂點的三角形與△POE全等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+c（a≠0）與y軸交于點A，

∴A（0，c），則OA=c，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴OA=OB=OC=c，

∴ c2c=4，解得c=2，

∴C（2，0），

把C（2，0）代入y=ax2+2得4a+2=0，解得a=﹣

（2）

解：△OEF是等腰三角形．理由如下：如圖1，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

把A（0，2）、B（﹣2，0）代入得 ，解得 ，

則直線AB的解析式為y=x+2，

設F（t，t+2），

∵拋物線y=﹣ x2+2沿BA方向平移，平移后的拋物線過點C時，頂點為F，

∴平移后的拋物線解析式為y=﹣ （x﹣t）2+t+2，

把C（2，0）代入得﹣ （2﹣t）2+t+2=0，解得t=6，

∴平移后的拋物線解析式為y=﹣ （x﹣6）2+8，

∴F（6，8），

∴OF= =10，

令y=0，﹣ （x﹣6）2+8=0，解得x1=2，x2=10，

∴OE=10，

∴OE=OF，

∴△OEF為等腰三角形

（3）

解：存在．點Q的位置分兩種情形．

情形一：點Q在射線HF上，

當點P在x軸上方時，如圖2，

∵∠EQP=90°，EP=EP，

∴當EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，

而HE=10﹣6=4，

∴QH= =2 ，

此時Q點坐標為（6，2 ）；

當點P在x軸下方時，如圖3，有PQ=OE=10，過P點作PK⊥HF于點K，則有PK=6，

在Rt△PQK中，QK= = =8，

∵∠PQE=90°，∴∠PQK+HQE=90°，

∵∠PKQ=∠QHE=90°，

∴△PKQ∽△QHE，

∴ ，∴ ，解得QH=3，

∴Q（6，3）．

情形二、點Q在射線AF上，

當PQ=OE=10時，如圖4，有QE=PO，

∴四邊形POEQ為矩形，∴Q的橫坐標為10，

當x=10時，y=x+2=12，∴Q（10，12）．

當QE=OE=10時，如圖5，

過Q作QM⊥y軸于點M，過E點作x軸的垂線交QM于點N．

設Q的坐標為為（x，x+2），∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2，

在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，即102=（10﹣x）2+（x+2）2，解得x=4± ，

當x=4+ 時，如圖5，y=x+2=6+ ，∴Q（4+ ，6+ ），

當x=4﹣ 時，如圖5，y=x+2=6﹣ ，∴Q（4﹣ ，6﹣ ），

綜上所述，Q點的坐標為（6，2 ）或（6，3）或（10，12）或（4+ ，6+ ）或（4﹣ ，6﹣ ），使P，Q，E三點為頂點的三角形與△POE全等

【解析】（1）先求出A（0，c），則OA=c，再根據等腰直角三角形的性質得OA=OB=OC=c，理由三角形面積公式得 c2c=4，解得c=2，接著把C（2，0）代入y=ax2+2可求出a的值；（2）如圖1，先利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=x+2，設F（t，t+2），利用拋物線平移的規律可設平移后的拋物線解析式為y=﹣ （x﹣t）2+t+2，再把C（2，0）代入得﹣ （2﹣t）2+t+2=0，可解得t=6，則平移后的拋物線解析式為y=﹣ （x﹣6）2+8，所以F（6，8），利用勾股定理計算出OF=10，接著根據拋物線與x軸的交點問題確定E（10，0），則OE=OF=10，于是可判斷△OEF為等腰三角形；（3）分類討論：當點Q在射線HF上，如圖2，利用三角形全等的判定方法，當EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，則可根據勾股定理計算出QH=2 ，于是可得Q點坐標為（6，2 ）；當點Q在射線AF上，如圖3，利用三角形全等的判定方法，當EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，設Q（m，m+2），利用兩點間的距離公式得到（m﹣10）2+（m+2）2=102 ， 解方程求出m的值即可得到Q點坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．