Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，點D從點C出發沿CA方向以4 cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2 cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D，E運動的時間是t秒(0<t≤15)．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF。

(1)求證：AE＝DF；

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；

(3)當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 能，理由見解析；(3)見解析．

【解析】分析：（1）利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質求得DF的長，即可證明；

（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據此即可列方程求得t的值；

（3）分兩種情況討論即可求解．

詳解：（1）∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．

∵CD=4t，AE=2t．

又∵在直角△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t，∴DF=AE；

（2）∵DF∥AB，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，即當t=10時，AEFD是菱形；

（3）分兩種情況討論：

①當∠EDF=90°時，DE∥BC，∴∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．

∵CD=4t，∴DF=2t=AE，∴AD=4t，∴4t+4t=60，∴t=時，∠EDF=90°．

②當∠DEF=90°時，DE⊥EF．

∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴AD∥EF，∴DE⊥AD，∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°．

∵∠A=60°，∴∠DEA=30°，∴AD=AE，AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=CD=2t，∴60﹣4t=t，解得t=12．

綜上所述：當t=或t=12時，△DEF是直角三角形．