Question

【題目】已知拋物線y＝x2－2x－3與x軸相交于A、B兩點，其頂點為M，將此拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖象．如圖，當直線y＝－x＋n與此圖象有且只有兩個公共點時，則n的取值范圍為

Answer 1

【答案】n＞ 或-1＜n＜3
【解析】解：當y=0時，y=x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0，
x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴M（1，-4），
如圖，作直線y=-x，
分別過A、B作直線y=-x的平行線，

當直線y=-x+n經過A（-1，0）時，1+n=0，n=-1，
當直線y=-x+n經過B（3，0）時，-3+n=0，n=3，
∴n的取值范圍為：-1＜n＜3，
根據題意得：翻折后的頂點坐標為（1，4），
∴翻折后的拋物線的解析式為：y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3，
當直線y=-x+n與拋物線y=-x2+2x+3只有一個公共點時，
則 ，
-x2+2x+3=-x+n，
-x2+3x+3-n=0，
△=9+4（3-n）=0，
n= ，
綜上所述：當直線y=-x+n與此圖象有且只有兩個公共點時，則n的取值范圍為n＞ 或-1＜n＜3．
【考點精析】掌握二次函數圖象的平移和拋物線與坐標軸的交點是解答本題的根本，需要知道平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．