Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，有矩形AOBC，點A、B的坐標分別為（0，4）、（10,0），點P的坐標為（2，0），點M在線段AO上，點N在線段AC上，總有∠MPN=90 ，點M從點O運動到點A，當點M運動到A點時，點N與點C重合（如圖2）。令AM=x

（1）.直接寫出點C的坐標___________；

（2）、①設MN2=y，請寫出y關于x的函數關系式，并求出y的最小值；

②連接AP交MN于點D，若MN⊥A P，求x的值；

（3）、當點M在邊AO上運動時，∠PMN的大小是否發生變化？請說明理由.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為（10，4）（2）①x=4時，y有最小值20；②；（3）不發生變化.

【解析】（1）由已知條件求出點C的坐標；（2）過N點作NQ⊥OP的輔助線，利用相似三角形得出二次函數解析式，再求出y的最小值；（3）利用A、M、P、N在以MN為直徑的⊙E上，（或求tan∠PMN為一定值），判斷∠PMN的大小是否發生變化.

（1）點C的坐標為（10，4）

（2）①過N點作NQ⊥OP，垂足為Q

∴△POM∽△NQP，

∴

∴PQ=8－2x

∴MN2=AM2+ AN2

∴y= x2+(10－2 x) 2=5 x 2－40 +100=5(x－4) 2+20(0≤x≤4)

∴當x=4時，y有最小值20；

②取MN的中點E，連AE、PE，

∵∠MAN=∠MPN=90°

∴A、M、P、N在以MN為直徑的⊙E上

由垂徑定理可知AD=PD，∴AM=PM=x

在Rt△POM中，

∴ ， 解得

（3）∠PMN的大小不發生變化

方法1，∵A、M、P、N在以MN為直徑的⊙E上

∴∠PMN=∠PAN

∴∠PMN的大小不發生變化

方法2，∵△POM∽△NQP

∴tan∠PMN==2

∴∠PMN的大小不發生變化

“點睛”此題考查矩形的性質，二次函數，相似三角形，垂徑定理，勾股定理以及關于點運動變化變化的情況，解題時要多角度考慮解法．