Question

【題目】如圖，已知點A（6，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O，A），過P、O兩點的二次函數y1和過P、A兩點的二次函數y2的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與AC相交于點D．當OD=AD=5時，這兩個二次函數的最大值之和等于______________。

Answer 1

【答案】4

【解析】過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，則BF+CM是這兩個二次函數的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=4，設P（3x，0），根據二次函數的對稱性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出，，，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．

解：過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，

∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=5，DE⊥OA，
∴OE=EA=OA=3，
由勾股定理得：DE==4，
設P（3x，0），根據二次函數的對稱性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴，，
∵AM=PM=（OA-OP）=（6-2x）=3-x，
即，，
解得：BF=，CM=

∴BF+CM=+=4．
故答案為：4．

“點睛”此題考查了二次函數的最值，勾股定理，等腰三角形的性質，以及相似三角形的性質和判定的應用，題目比較好，但是有一定的難度，屬于綜合性試題．