Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）如果∠A=60°，則DE與DF有何數量關系？請說明理由；
（3）如果AB=5，BC=6，求tan∠BAC的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵AB=AC，∴∠2=∠C，

∵OD=OB，∴∠2=∠1，

∴∠1=∠C，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∵點D在⊙O上，

∴EF是⊙O的切線；

（2）

解：DE與DF的數量關系是DF=2DE．連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，∴∠3=∠4= ∠BAC= ×60°=30°，

∵∠F=90°﹣∠BAC=90°﹣60°=30°，

∴∠3=∠F，∴AD=DF，

∵∠4=30°，EF⊥AC，

∴DE= AD，∴DF=2DE；

（3）

解：設⊙O與AC的交點為P，連接BP，

∵AB為直徑，∴BP⊥AC，由上知BD= BC= ×6=3，

∴AD= =4，

S△ABC= BCAD= ACBP，

∴ ×6×4= ×5×BP，

∴BP= ，

∴直角△ABP中，AP= = ，

∴tan∠BAC= = ．

【解析】（1）連接OD，根據題意可得出∠1=∠C，則OD∥AC，由EF⊥AC可得出結論；（2）連接AD，由圓周角定理可得出AD⊥BC，根據已知條件可得出∠3=30°，從而得出∠3=∠F，則AD=DF，由直角三角形的性質即可得出DF=2DE；（3）設⊙O與AC的交點為P，連接BP，可求出BD，再根據勾股定理求出AD，根據三角形的面積公式得出BP，再由勾股定理得出AP，則得出tan∠BAC的值．
【考點精析】掌握圓的定義和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓．定點稱為圓心，定長稱為半徑；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．