Question

【題目】已知拋物線y=x2+4x+m（m為常數）經過點（0，4）
（1）求m的值；
（2）將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線．已知這條平移后的拋物線滿足下述兩個條件：它的對稱軸（設為直線l2）與平移前的拋物線的對稱軸（設為l1）關于y軸對稱；它所對應的函數的最小值為﹣8．
①試求平移后的拋物線所對應的函數關系式；
②試問在平移后的拋物線上是否存在著點P，使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切，又與直線l2相交？若存在，請求出點P的坐標，并求出直線l2被⊙P所截得的弦AB的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意得：02+4×0+m=4，解得m=4

（2）

解：①由（1）得：y=x2+4x+4=（x+2）2，

∴對稱軸為直線l1：x=﹣2

依題意得平移后的拋物線的對稱軸為直線l2：x=2

故設平移后的拋物線所對應的函數關系式為y=（x﹣2）2+k

∵此函數最小值為﹣8，

∴k=﹣8

即平移后的拋物線所對應的函數關系式為y=（x﹣2）2﹣8=x2﹣4x﹣4

②存在．理由如下：

由①知平移后的拋物線的對稱軸為直線l2：x=2

當點P在x軸上方時，∵⊙P與x軸相切，

∴令y=x2﹣4x﹣4=3，

解得x=2±

∵此時點P1（2+ ，3），P2（2﹣ ，3）與直線x=2之距均為 ，

∴點P1、P2不合題意，應舍去．

當點P在x軸下方時，

∵⊙P與x軸相切，

∴令y=x2﹣4x﹣4=﹣3，

解得x=2± （10分）

此時點P3（2+ ，﹣3），P4（2﹣ ，﹣3）與直線x=2之距均為 ，

∵ ＜3，⊙P3、⊙P4均與直線l2：x=2相交，

∴點P3、P4符合題意．

此時弦AB=2×

綜上，點P的坐標為（2+ ，﹣3）或（2﹣ ，﹣3），

直線l2被⊙P所截得的弦AB的長為4．

【解析】（1）將（0，4）代入拋物線，得：02+4×0+m=4，解得m=4；（2）①根據（1）求出的拋物線，可知其對稱軸，平移后的拋物線的對稱軸與平移前的對稱軸關于y軸對稱，即可求出新拋物線對稱軸，再根據第二個條件，最小值為﹣8，即可求出平移后的拋物線的關系式；②該題需要分情況討論，假設p點存在，且p在x軸上方，根據題意可知，p的縱坐標是3，代入關系式求解，求出p點坐標，在驗證該點是否在直線上；若p在y軸下方，則p的縱坐標是﹣3，代入關系式，求出坐標，再進行檢驗．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．