Question

【題目】如圖1，已知AB為⊙O的直徑，點C為 的中點，點D在 上，連接BD、CD、BC、AD、BC與AD相交于點E．
（1）求證：∠C+∠CBD=∠CBA；
（2）如圖2，過點C作CD的垂線，分別與AD，AB，⊙O相交于點F、G、H，求證：AF=BD；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BF，若BF=BC，△CEF的面積等于3，求FG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，

在⊙O中，∵C為 的中點，

∴ = ，

∴∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB，

∵ = ， = ，

∴∠DCB=∠DAB，∠CBD=∠CAD，

∴∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA

（2）證明：連接AC．

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°=∠ACF+∠FCB，

∵CD⊥CH，

∴∠DCH=90°=∠FCB+∠DCB，

∴∠ACF=∠DCB，

∵ = ，

∴AC=BC，

在△ACF和△BCD中，

，

∴△ACF≌△BCD，

∴AF=BD

（3）解：作BM⊥CH于M，AK⊥CH于K．

∴∠ACK+∠CAK=90°，∠AKC=∠BMC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACK+∠KCB=90°，

∴∠CAK=∠KCB，∵AC=BC，

∴△ACK≌△CNM，

∴AK=CM，

∵CB=BF，BM⊥CF，

∴CM=FM=AK，

∵△ACF≌△BCD，

∴CF=CD，

∵∠FCD=90°，

∴∠CFD=∠CDF=45°=∠AFK，

∴△AFK是等腰直角三角形，

∴AK=FK=FM=CM，

在Rt△AKC中，tan∠CAK= =3，作EN⊥CH于N，

在Rt△NCE中，∵∠HCB=∠CAK，

∴tan∠NCE= =3，設CN=m，EN=3m=NF，

∴S△CEF= CFEN= ×（m+3m）×3m=3，

∴m= ，

∴CF=4m=2 ，

∴CM=FM=FK=AK= ，

∴AF=2，

∵ = ，

∴∠DCB=∠DAB=∠ACK，

過G作GQ⊥AF于Q，

在Rt△AQG中，tan∠FAB= = ，設QG=x，AQ=3x，FQ=x，

∴4x=2，

∴x= ，

∴FG= x=

【解析】（1）連接AC．由 = ，推出∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB，由 = ， = ，推出∠DCB=∠DAB，∠CBD=∠CAD，推出∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA．（2）只要證明△ACF△BCD，即可推出AF=BD．（3）由△ACK≌△CNM，推出AK=CM，由△ACF≌△BCD，推出CF=CD，△AFK是等腰直角三角形，推出AK=FK=FM=CM，在Rt△AKC中，tan∠CAK= =3，作EN⊥CH于N，在Rt△NCE中，由∠HCB=∠CAK，推出tan∠NCE= =3，設CN=m，EN=3m=NF，由S△CEF= CFEN= ×（m+3m）×3m，推出m= ，推出CF=4m=2 ，推出CM=FM=FK=AK= ，AF=2，由 = ，推出∠DCB=∠DAB=∠ACK，過G作GQ⊥AF于Q，在Rt△AQG中，tan∠FAB= = ，設QG=x，AQ=3x，FQ=x，可得4x=2，得x= ，再根據FG= QG即可解決問題．