Question

【題目】如圖，OA、OB是⊙O的兩條半徑，∠AOB＝120°，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形OACB為菱形；

（2）點(diǎn)D為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，若∠BCD＝∠OBD，BD＝2，求OB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）OB＝．

【解析】

（1）連接OC，利用圓心角定理證△AOC、△BOC是等邊三角形，得出OA＝AC＝OB＝BC即可得；

（2）延長BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，知∠BDE＝90°，∠BCD＝∠BED，結(jié)合∠BCD＝∠OBD得∠BED＝∠OBD＝45°，根據(jù)BD＝2求得BE＝2，從而得出答案．

解：（1）如圖，連接OC，

∵∠AOB＝120°，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，

∴∠AOC＝∠BOC＝60°，AC＝BC，

∵OA＝OB＝OC，

∴△AOC、△BOC是等邊三角形，

∴OA＝AC＝OB＝BC，

∴四邊形AOBC是菱形；

（2）延長BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，

則BE是⊙O的直徑，

∴∠BDE＝90°，∠BCD＝∠BED，

∵∠BCD＝∠OBD，

∴∠BED＝∠OBD＝45°，

∵BD＝2，

∴BE＝2，

則OB＝．