Question

如圖，在平面直角坐標系中有一矩形ABCO（O為原點），點A、C分別在x軸、y軸上，且C點坐標為（0，6），將△BCD沿BD折疊（D點在OC上），使C點落在OA邊的E點上，并將△BAE沿BE折疊，恰好使點A落在BD邊的F點上．
（1）求BC的長，并求折痕BD所在直線的函數解析式；
（2）過點F作FG⊥x軸，垂足為G，FG的中點為H，若拋物線y=ax²+bx+c經過B、H、D三點，求拋物線解析式；
（3）點P是矩形內部的點，且點P在（2）中的拋物線上運動（不含B、D點），過點P作PN⊥BC，分別交BC和BD于點N、M，是否存在這樣的點P，使S_△BNM=S_△BPM？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由翻折可知：△BCD≌△BED，∴∠CBD=∠DBE．
又∵△ABE≌△FBE，∴∠DBE=∠ABE．
又∵四邊形OCBA為矩形，
∴∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°．
在Rt△DOE中，∠ODE=60°，∴DE=CD=2OD．
∵OC=OD+CD=6，∴OD+2OD=6，
∴OD=2，D（0，2），
∴CD=4．
在Rt△CDB中，BC=CD•tan60°=4

3

，∴B（4

3

，6）．
設直線BD的解析式為y=kx+b，
由題意得：

b=2 4 3 k+b=6

，解得

k= 3 3 b=2

，
∴直線BD的解析式為：y=

3

3

x+2．

（2）在Rt△FGE中，∠FEG=60°，FE=AE．
由（1）易得：OE=2

3

，
∴FE=AE=2

3

．
∴FG=3，GE=

3

．∴OG=

3

．
∵H是FG的中點，
∴H（

3

，

3

2

）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經過B、H、D三點，
∴

48a+4 3 b+c=6 c=2 3a+ 3 b+c= 3 2

，解得

a= 1 6 b=- 3 3 c=2

，
∴y=

1

6

x²-

3

3

x+2．

（3）存在．
∵P在拋物線上，
∴設P（x，

1

6

x²-

3

3

x+2），M（x，

3

3

x+2），N（x，6）．
∵S_△BNM=S_△BPM，
∴PM=MN．
即：-

1

6

x²+

2 3

3

x=4-

3

3

x，
整理得：x²-2

3

x-4=0，
解得：x=2

3

或x=4

3

．
當x=2

3

時，y=

1

6

x²-

3

3

x+2=2；
當x=4

3

時，y=

1

6

x²-

3

3

x+2=6，與點B重合，不符合題意，舍去．
∴P（2

3

，2）．
∴存在點P，使S_△BNM=S_△BPM，點P的坐標為（2

3

，2）．