Question

如圖，拋物線y=x²+2x-3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）設直線y=x+3與y軸的交點是D，在線段AD上任意取一點E（不與A、D重合），經過A、B、E三點的圓交直線AC于點F，試判斷△BEF的形狀．

Answer 1

（1）∵y=x²+2x-3，
∴y=（x+1）²-4
∴頂點坐標是（-1，-4）
（2）△BEF是等腰直角三角形．
連接BE、BF、EF得到△BEF．
∵y=x²+2x-3與x軸交于A、B兩點，
∴y=0時，x²+2x-3=0，求得：
x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0）．
當x=0時，y=-3，
∴C（0，-3）．
∵直線y=x+3與y軸的交點是D，
∴x=0時，y=3，
∴D（0，3），
∴OA=OC=OD=3，

∴∠EAB=∠FAB=45°
∵∠EAB=∠EFB，∠FAB=∠FEB
∴∠EFB=∠FEB=45°
∴∠EBF=90°，EB=FB，
∴△BEF是等腰直角三角形．