Question

如圖1，拋物線y=ax²-3ax+b經過A（-1，0），C（3，2）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx-1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；
（3）如圖2，過點E（1，-1）作EF⊥x軸于點F，將△AEF繞平面內某點旋轉180°后得△MNQ（點M，N，Q分別與點A，E，F對應），使點M，N在拋物線上，求點M，N的坐標．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²-3ax+b過A（-1，0）、C（3，2），
∴0=a+3a+b，2=9a-9a+b．
解得a=-

1

2

，b=2，
∴拋物線解析式y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）如圖1，過點C作CH⊥AB于點H，
由y=-

1

2

x²+

3

2

x+2得B（4，0）、D（0，2）．
又∵A（-1，0），C（3，2），
∴CD∥AB．
由拋物線的對稱性得四邊形ABCD是等腰梯形，
∴S_△AOD=S_△BHC．
設矩形ODCH的對稱中心為P，則P（

3

2

，1）．
由矩形的中心對稱性知：過P點任一直線將它的面積平分．
∴過P點且與CD相交的任一直線將梯形ABCD的面積平分．
當直線y=kx-1經過點P時，
得1=

3

2

k-1
∴k=

4

3

．
∴當k=

4

3

時，直線y=

4

3

x-1將四邊形ABCD面積二等分．

（3）如圖2，由題意知，
∵△AEF繞平面內某點旋轉180°后得△MNQ，
∴設繞點I旋轉，聯結AI，NI，MI，EI，
∵AI=MI，NI=EI，
∴四邊形AEMN為平行四邊形，
∴AN∥EM且AN=EM．
∵E（1，-1）、A（-1，0），
∴設M（m，n），則N（m-2，n+1）
∵M、N在拋物線上，
∴n=-

1

2

m²+

3

2

m+2，n+1=-

1

2

（m-2）²+

3

2

（m-2）+2，
解得m=3，n=2．
∴M（3，2），N（1，3）．