Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y＝﹣+2經過點A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在拋物線在第一象限內的圖象上，過點P作x軸的垂線，垂足為D，交直線AC于點E，連接PC，設點P的橫坐標為m．

①當△PCE是等腰三角形時，求m的值；

②過點C作直線PD的垂線，垂足為F．點F關于直線PC的對稱點為F′，當點F′落在坐標軸上時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①當△PCE是等腰三角形時，m的值為m＝4﹣，2，；②點P的坐標為(1，3)或(，)

【解析】

（1）先由直線y＝﹣x+2求出A，C的坐標，再將其代入拋物線y＝ax2+x+c中，即可求出拋物線解析式；

（2）①用含m的代數表示出P，E的坐標，再求出含m的代數式的PE的長度，將等腰三角形分三種情況進行討論，即可分別求出m的值；

②當點F'落在坐標軸上時，存在兩種情形，一種是點F'落在y軸上，一種是點F′落在x軸上，分情況即可求出點P的坐標．

解：（1）∵直線y＝﹣x+2經過A，C，

∴A（4，0），C（0，2），

∵拋物線y＝ax2+x+c交x軸于點B，交y軸于點C，

∴，

∴a＝﹣，c＝2，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；

（2）∵點P在拋物線在第一象限內的圖象上，點P的橫坐標為m，

∴0＜m＜4，P（m，﹣m2+m+2），

①∵PD⊥x軸，交直線y＝﹣x+2于點E，

∴E（m，﹣m+2），

∴PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，

∵PD∥CO，

∴，

∴CE＝＝m，

當PE＝CE時，﹣m2+2m＝m，

解得，m1＝4﹣，m2＝0（舍去）；

當PC＝CE時，PD+ED＝2CO，

即（﹣m2+m+2）+（﹣m+2）＝2×2，

∴﹣m2+m＝0，

解得，m1＝2，m2＝0（舍去）；

當PC＝PE時，取CE中點G，則G（m，﹣m+2），PG⊥AC，

∴∠GEP＝∠OCA，

∴Rt△PGE∽Rt△AOC，

∴＝2，

∴（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝2（m﹣m），

﹣m2+m＝0，

解得，m1＝，m2＝0（舍去），

綜上，當△PCE是等腰三角形時，m的值為m＝4﹣，2，；

②P（1，3），P（，），理由如下，

當點F'落在坐標軸上時，存在兩種情形：

如圖2﹣1，當點F'落在y軸上時，點P（m，﹣m2+m+2）在直線y＝x

+2上，

∴﹣m2+m+2＝m+2，

解得，m1＝1，m2＝0（舍去），

∴P（1，3）；

如圖2﹣2，當點F'落在x軸上時，△COF'∽△F'DP，

∴，

∴，

∵PF＝2﹣（﹣m2+m+2）＝m（m﹣3），

∴F'D＝＝m﹣3，

∴OF'＝OD﹣FD＝m﹣（m﹣3）＝3，

在△CBF'中，CF'＝，

∴m＝，P（，），

綜上所述，當點F′落在坐標軸上時，點P的坐標為（1，3）或（，）．