Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD＝4，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在邊上的P點處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連結AP、OP、OA．求證：△OCP∽△PDA；

（2）若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；

（3）如圖2，在（1）（2）的條件下，擦去折痕AO線段OP，連結BP，動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN＝PM，連結MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝5；（3）EF的長度不變，EF＝．

【解析】

（1）根據折疊的性質得到∠APO=∠B=90°，根據相似三角形的判定定理證明△OCP∽△PDA；

（2）根據相似三角形的面積比等于相似比的平方解答；

（3）作MQ∥AB交PB于Q，根據等腰三角形的性質和相似三角形的性質得到EF=PB，根據勾股定理求出PB，計算即可．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

由折疊可得：AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B．

∴∠APO＝90°．

∴∠APD＝90°﹣∠CPO＝∠POC．

∵∠D＝∠C，∠APD＝∠POC．

∴△OCP∽△PDA．

（2）∵△OCP∽△PDA且△OCP與△PDA的面積比為1：4

∴,

∴DA＝2CP

∵AD＝4，

∴CP＝2

設AB＝x，則AP＝CD＝x，DP＝x﹣2，

在Rt△ADP中，

∵∠D＝90°，AD＝4，DP＝x﹣2，AP＝x

∴x2＝（x﹣2）2+42

解得：x＝5

∴AB＝5

（3）EF的長度不變．

如圖2，作MQ∥AB交PB于Q，

∴∠MQP＝∠ABP，

由折疊的性質可知，∠APB＝∠ABP，

∴∠MQP＝∠APB，

∴MP＝MQ，又BN＝PM，

∴MQ＝BN，

∵MQ∥AB，

∴，

∴QF＝FB，

∵MP＝MQ，ME⊥BP，

∴PE＝QE，

∴EF＝PB，

由（2）得，PC＝2，BC＝4，

∴PB＝ ＝ ，

∴EF＝．