Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AF∥ED，AE∥DF

（1）求證：四邊形AEDF為菱形；

（2）試探究：當(dāng)AB：BC＝　 ，菱形AEDF為正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)AB：BC＝1：2，菱形AEDF為正方形．理由見解析.

【解析】

（1）先證明四邊形AEDF為平行四邊形，再證明△ABE≌△DCE得到EA=ED，從而可判斷四邊形AEDF為菱形；

（2）當(dāng)AB：BC=1：2，則AB=BE，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，則∠AEB=45°，利用△ABE≌△DCE得到∠DEC=45°，所以∠AED=90°，根據(jù)根據(jù)正方形的判定方法可判斷菱形AEDF為正方形．

（1）證明：∵AF∥ED，AE∥DF，

∴四邊形AEDF為平行四邊形，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，

∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，

∴BE＝CE，

在△ABE和△DCE中

，

∴△ABE≌△DCE，

∴EA＝ED，

∴四邊形AEDF為菱形；

（2）解：當(dāng)AB：BC＝1：2，菱形AEDF為正方形．

理由如下：

∵AB：BC＝1：2，

而點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，

∴AB＝BE，

∴△ABE為等腰直角三角形，

∴∠AEB＝45°，

∵△ABE≌△DCE，

∴∠DEC＝45°，

∴∠AED＝90°，

∵四邊形AEDF為菱形，

∴菱形AEDF為正方形．

故答案為1：2．