Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，則下列結論：①；②；③；④若F為BE中點，則AD=3BD，其中正確的結論有( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

①證明△ACD∽△CBD即可作出判斷；

②根據勾股定理即可得解；

③作EM⊥AB，可證△BCE≌△BEM，從而得到為定值，依此即可作出判斷；

④若F為BE中點，則CF=EF=BF，可得∠BCD=∠CBF=∠DBF=30°，再根據含30°的直角三角形的性質即可作出判斷．

∵CD⊥AB，

∴∠CDA=∠CDB，∠A+∠ACD=90°, ∠CBD+∠BCD=90°，

∵∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCD=90°,

∴∠A=∠BCD

∴△ACD∽△CBD

∴

∴

故①正確；

∵AC2-AD2=BC2-BD2=CD2，

∴AC2+BD2=BC2+AD2，

故②正確；

作EM⊥AB，則BD+EH=BM，

∵BE平分∠ABC，△BCE≌△BEM，

∴BC=BM=BD+EH，

∴=1，故③正確；

∵F為BE中點，

∴BF=EF，

∵BE是∠ABC的平分線，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠BFD=90°-∠DBF，

∴∠CFE=90°-∠DBF，

又∠CEF=∠A+∠ABE=90°-∠ABC+∠ABE=90°-∠ABE，

∴∠CFE=∠CEF

∴CE=CF

∵F為BE中點

∴CF=CE

∴CF=EF=BF，

∴∠BCD=∠CBF=∠DBF=30°，∠A=30°，

∴AB=2BC=4BD，

∴AD=3BD，故④正確．

∴正確的結論有4個.

故選D．