Question

【題目】如圖，在中，， 點是邊上一點，連接，以為邊作等邊.

如圖1，若求等邊的邊長;

如圖2，點在邊上移動過程中，連接，取的中點，連接，過點作于點.

①求證:；

②如圖3，將沿翻折得，連接，直接寫出的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）最小值為

【解析】

(1)過C做CF⊥AB，垂足為F，由題意可得∠B=30°，用正切函數可求CF的長，再用正弦函數即可求解；

(2) 如圖（2）1：延長BC到G使CG=BC，易得△CGE≌△CAD，可得CF∥GE，得∠CFA=90°，CF=GE再證DG=AD，得CF=DG，可得四邊形DGFC是矩形即可；

（3）如圖（2）2：設ED與AC相交于G，連接FG,先證△EDF≌△F D'B得BD'=DE，當DE最大時最小，然后求解即可；

解：（1）如圖：過C做CF⊥AB，垂足為F，

∵，

∴∠A=∠B=30°，BF=3

∵tan∠B=

∴CF=

又∵sin∠CDB= sin45°=

∴DC=

∴等邊的邊長為；

①如圖（2）1：延長BC到G使CG=BC

∵∠ACB=120°

∴∠GCE=180°-120°=60°，∠A=∠B=30°

又∵∠ACB=60°

∴∠GCE=∠ ACD

又∵CE=CD

∴△CGE≌△CAD（SAS）

∴∠G=∠ A=30°，GE=AD

又∵EF=FB

∴GE∥FC, GE=FC,

∴∠BCF=∠G=30°

∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°

∴CF∥DG

∵∠ A=30°

∴GD=AD,

∴CF=DG

∴四邊形DGFC是平行四邊形，

又∵∠ACF=90°

∴四邊形DGFC是矩形，

∴

②）如圖（2）2：設ED與AC相交于G，連接FG

由題意得：EF=BF, ∠EFD=∠D'FB

∴△EDF≌△F D'B

∴BD'=DE

∴BD'=CD

∴當BD'取最小值時，有最小值

當CD⊥AB時，BD'min=AC,

設CDmin=a，則AC=BC=2a，AB=2a

的最小值為；