Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O為BC邊上一點，⊙O經過A、B兩點，與BC邊交于點E，點F為BE下方半圓弧上一點，FE⊥AC，垂足為D，∠BEF＝2∠F．

（1）求證：AC為⊙O切線．

（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連結OA，根據已知條件得到∠AOE＝∠BEF，根據平行線的性質得到OA⊥AC，于是得到結論；

（2）連接OF，設∠AFE＝α，則∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠AFO＝∠OAF＝α，根據全等三角形的性質得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝＝3，根據圓周角定理得到∠BAE＝90°，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解（1）證明：連結OA，

∴∠AOE＝2∠F，

∵∠BEF＝2∠F，

∴∠AOE＝∠BEF，

∴AO∥DF，

∵DF⊥AC，

∴OA⊥AC，

∴AC為⊙O切線；

（2）解：連接OF，

∵∠BEF＝2∠F，

∴設∠AFE＝α，則∠BEF＝2α，

∴∠BAF＝∠BEF＝2α，

∵∠B＝∠AFE＝α，

∴∠BAO＝∠B＝α，

∴∠OAF＝∠BAO＝α，

∵OA＝OF，

∴∠AFO＝∠OAF＝α，

∴△ABO≌△AFO（AAS），

∴AB＝AF＝5，

∵DF＝4，

∴AD＝＝3，

∵BE是⊙O的直徑，

∴∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠FDA，

∵∠B＝∠AFD，

∴△ABE∽△DFA，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝，

∴⊙O半徑＝．