Question

【題目】如果一元二次方程ax2+bx+c＝0 的兩根 x1，x2均為正數，其中x1＞x2，且滿足1＜x1﹣x2＜2，那么稱這個方程有“友好根”．

（1）方程（x﹣）（x﹣）＝0_____“友好根”（填：“有”或“沒有”）；

（2）已知關于x的 x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0有“友好根”，求 t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）沒有；（2）4＜t＜5．

【解析】

（1）先解方程得到x1，x2，則不滿足1＜x1﹣x2＜2，所以可判斷方程沒有“友好根”；

（2）根據判別式的意義得到△＝（t﹣1）2﹣4×1×（t﹣2）＝（t﹣3）2＞0，利用求根公式解得x1＝t﹣2，x2＝1或x1＝t﹣2，x2＝1，然后討論：若x1＝t﹣2，x2＝1，則得到4＜t＜5；若x1＝1，x2＝t﹣2，則不合題意，最后綜合得到t的取值范圍．

（1）方程（x）（x）＝0 沒有“友好根”，理由如下：

∵（x）（x）＝0，∴x1，x2，這時x1＞0，x2＞0，但x1﹣x2＜1，∴不滿足x1＞x2且滿足1＜x1﹣x2＜2這個條件，∴方程（x）（x）＝0 沒有“友好根”．

故答案為：沒有；

（2）x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0，由已知△＝（t﹣1）2﹣4×1×（t﹣2）＝（t﹣3）2＞0，∴x，∴當t＞3時，x1＝t﹣2，x2＝1，當t＜3時，x1＝1，x2＝t﹣2．

∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有“友好根”，∴x1，x2均為正數，x1＞x2且滿足1＜x1﹣x2＜2，若x1＝t﹣2，x2＝1，則1＜t﹣2﹣1＜2，解得：4＜t＜5；

若x1＝1，x2＝t﹣2，則，無解．

綜上，t的取值范圍是4＜t＜5．