Question

4．（1）知識拓展
如圖1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；
如2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；
（2）解決問題
如圖3，直線AB與坐標軸分別交于點A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函數y=$\frac{m}{x}$（x＞0）
的圖象與AB交于C，D兩點．
①若m+n=8，n取何值時△ABO的面積最大？
②若S_△AOC=S_△COD=S_△BOD，求點B的坐標．

Answer 1

分析 ①利用三角形的面積公式得出函數關系式，利用二次函數的極值的確定方法得出最大值；
②借助知識拓展，由S_△AOC=S_△COD=S_△BOD，得出BD=CD=AC，進而得出BF=EF=OE=$\frac{1}{3}$n，再利用點C在反比例函數圖象上得出點C坐標，最后利用點C在直線AB上即可求出n即可．

解答 解：①∵m+n=8，∴m=8-n，
∵點A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$n（8-n）=-$\frac{1}{2}$（n-4）²+8，
∴當n=4時，△AOB的面積最大，
②如圖，

∵S_△AOC=S_△COD=S_△BOD，
∴BD=CD=AC，
過點C作CE⊥OB于E，過點D作DF⊥OB于F，
∴DF∥CE∥OA，
∴BF=EF=OE，
∵點B（0，n）（n＞0），
∴OB=n，
∴BF=EF=OE=$\frac{1}{3}$n，
∴點C的縱坐標為$\frac{1}{3}$n，
∵點C在反比例函數y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴C（$\frac{3m}{n}$，$\frac{1}{3}$n），
∵點A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0），
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{n}{m}$x+n，
∵點C在直線AB上，
∴-$\frac{n}{m}×\frac{3m}{n}+n=\frac{1}{3}n$，
∴n=$\frac{9}{2}$，
∴B（0，$\frac{9}{2}$）．

點評 此題是反比例函數綜合題，主要考查了三角形的面積公式，知識拓展得出的結論，待定系數法，解①的關鍵是建立三角形AOB的面積和n的函數關系式，解②的關鍵是得出BF=EF=OE=$\frac{1}{3}$n．