Question

【題目】如圖1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，動點P從點A出發，以3cm/s的速度向點O運動，直到點O為止；動點Q同時從點C出發，以2cm/s的速度向點B運動，與點P同時結束運動．

（1）當運動時間為2s時，P、Q兩點的距離為　 　cm；

（2）請你計算出發多久時，點P和點Q之間的距離是10cm；

（3）如圖2，以點O為坐標原點，OC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，1cm長為單位長度建立平面直角坐標系，連結AC，與PQ相交于點D，若雙曲線過點D，問k的值是否會變化？若會變化，說明理由；若不會變化，請求出k的值．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）t=或t=，理由見解析；（3）k的值是不會變化，k= ,理由見解析

【解析】

（1）構造出直角三角形，再求出PE，QE，利用勾股定理即可得出結論；

（2）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出結論；

（3）先求出直線AC解析式，再求出點P，Q坐標，進而求出直線PQ解析式，聯立兩解析式即可得出結論．

（1）如圖1，由運動知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm，

過點P作PE⊥BC于E，過點Q作QF⊥OA于F，

∴四邊形APEB是矩形，

∴PE=AB=6，BE=6，

∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6，

根據勾股定理得，PQ=6，

故答案為6；

（2）設運動時間為t秒時，

由運動知，AP=3t，CQ=2t，

同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，

∵點P和點Q之間的距離是10cm，

∴62+（16﹣5t）2=100，

∴t=或t=；

（3）k的值是不會變化，

理由：∵四邊形AOCB是矩形，

∴OC=AB=6，OA=16，

∴C（6，0），A（0，16），

設AC直線為y=kx+b，

把C（6，0），A（0，16）代入得，解得

∴直線AC的解析式為y=﹣x+16①，

設運動時間為t，

∴AP=3t，CQ=2t，

∴OP=16﹣3t，

∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），

設PQ直線為y=kx+b，

把P（0，16﹣3t），Q（6，2t），代入得，解得

∴PQ解析式為y=x+16﹣3t②，

聯立①②解得，x=，y=，

∴D（，），

∴k=×=是定值．