Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，且AB=BC=CD，AB∥CD，連接BD．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若AB=10，cos∠BAC=，求BD的長及⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD=12，⊙O的半徑為

【解析】（1）如圖1，作直徑BE，半徑OC，證明四邊形ABDC是平行四邊形，得∠A=∠D，由等腰三角形的性質得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以BD是⊙O的切線；

（2）如圖2，根據三角函數設EC=3x，EB=5x，則BC=4x根據AB=BC=10=4x，得x的值，求得⊙O的半徑為，作高線CG，根據等腰三角形三線合一得BG=DG，根據三角函數可得結論．

（1）如圖1，作直徑BE，交⊙O于E，連接EC、OC，

則∠BCE=90°，

∴∠OCE+∠OCB=90°，

∵AB∥CD，AB=CD，

∴四邊形ABDC是平行四邊形，

∴∠A=∠D，

∵OE=OC，

∴∠E=∠OCE，

∵BC=CD，

∴∠CBD=∠D，

∵∠A=∠E，

∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OBC+∠CBD=90°，

即∠EBD=90°，

∴BD是⊙O的切線；

（2）如圖2，∵cos∠BAC=cos∠E=，

設EC=3x，EB=5x，則BC=4x，

∵AB=BC=10=4x，

x=，

∴EB=5x=，

∴⊙O的半徑為，

過C作CG⊥BD于G，

∵BC=CD=10，

∴BG=DG，

Rt△CGD中，cos∠D=cos∠BAC=，

∴，

∴DG=6，

∴BD=12．