Question

【題目】如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，AD=DC，點F在AD上，AB=FC，BF的延長線交AC于點E.

(1)求證：△ABD≌△CFD.

(2)求證：CF⊥AB.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）由已知可利用HL直接證明Rt△ABD≌Rt△CFD；

（2）由全等三角形的性質可得∠DCF=∠DAB，利用直角三角形兩銳角互余，通過等量代換可求出∠DCF+∠ABD=90°，可得CF⊥AB.

證明：（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ABD和Rt△CFD中，，

∴Rt△ABD≌Rt△CFD（HL）；

（2）延長CF交AB于點G，

∵Rt△ABD≌Rt△CFD，

∴∠DCF=∠DAB，

∵∠DAB+∠ABD=90°，

∴∠DCF+∠ABD=90°，

∴∠BGC=90°，即CF⊥AB.