Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O是一點，過點B作⊙O的切線，與AC延長線交于點D，連接BC，OE//BC交⊙O于點E，連接BE交AC于點H．

（1）求證：BE平分∠ABC；
（2）連接OD，若BH=BD=2，求OD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OE//BC，

∴OE⊥AC，

∴ = ，

∴∠1=∠2，

∴BE平分∠ABC

（2）

解：∵BD是⊙O的切線，

∴∠ABD=90°，

∵∠ACB=90°，BH=BD=2，

∴∠CBD=∠2，

∴∠1=∠2=∠CBD，

∴∠CBD=30°，∠ADB=60°，

∵∠ABD=90°，

∴AB=2 ，OB= ，

∵OD2=OB2+BD2，

∴OD= ．

【解析】（1）根據切線的性質得到∠ACB=90°，根據平行線的性質得到OE⊥AC，根據垂徑定理即可得到結論；（2）根據切線的性質得到∠ABD=90°，根據等腰三角形的性質得到∠CBD=∠2，解直角三角形即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．