Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點D、E．
（1）若拋物線y=

1

4

x2+bx+c經過C、D兩點，求此拋物線的解析式并判斷點B是否在此拋物線上．
（2）若在（1）中的拋物線的對稱軸有一點P，使得△PBD的周長最短，求點P的坐標．
（3）若點M為（1）中拋物線上一點，點N為其對稱軸上一點，是否存在以點B、C、M、N為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出點M、N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由已知，得B（-2，0）C（8，0），D（0，-4）
將C、D兩點代入得：

1 4 ×82+8b+c=0 c=-4

，
解得b=-

3

2

，c=-4，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

x2-

3

2

x-4
∵

1

4

(-2)2-

3

2

×(-2)-4=0，
∴點B在這條拋物線上．

（2）要使△PBD的周長最短，由于邊BD是定值，只需PB+PD最小，
∵點B、C關于對稱軸x=3對稱，
∴直線CD與對稱軸x=3的交點就是所求的點P．
設直線CD的解析式為y=kx+m．將C、D兩點代入，得

8k+m=0 m=-4

，
解得k=

1

2

，m=-4，
∴直線CD的解析式為y=

1

2

x-4當x=3時，y=-

5

2

，
∴點P的坐標為（3，-2.5）．

（3）存在．
M（-7，

75

4

），N（3，

75

4

）或M（13，

75

4

），N（3，

75

4

）或M（3，-

25

4

），N（3，

25

4

）