Question

已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+2x經過點A（4，0），頂點為B．
（1）求頂點B的坐標；
（2）將這條拋物線向左平移后與y軸相交于點C，此時點A移動到點D的位置，且∠DBA=∠CBO，求平移后拋物線的表達式．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+2x經過點A（4，0），
∴0=16a+8．
∴a=-

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，
∴拋物線的表達式為y=-

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2

x²+2x，
∴y=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x²-4x+2²-4）=-

1

2

（x-2）²+2．
頂點B的坐標為（2，2）；

（2）解法一：設平移后拋物線的表達式為y=-

1

2

x²+bx+c．
∵點B的坐標為（2，2），
∴AB=OB=2

2

，∠BAD=∠BOC=45°．
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即平移的距離為c．
∴點D的坐標為（4-c，0）．
∴0=-

1

2

（4-c）²+b（4-c）+c．
又∵平移后拋物線的對稱軸為x=b．
∴b=2-c．
∴0=-

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2

（4-c）²+（2-c）（4-c）+c．．
解得c=2或c=0（不符合題意，舍去）．
∴平移后拋物線的表達式為y=-

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2

x²+2．
解法二：∵原拋物線表達式為y=-

1

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x（x-4），
∴設平移后拋物線表達式為y=-

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2

（x+m）（x-4+m）（m＞0，向左平移的距離）．
即y=-

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2

x²-（m-2）x-

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2

m²+2m．
∵B的坐標為（2，2），
∵AB=OB=2

2

，∠BAD=∠BOC=45°，
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即m=-

1

2

m²+2m．解得m=2或m=0（不符合題意，舍去）．
∴平移后拋物線的表達式為：y=-

1

2

x²+2．