Question

【題目】如圖，拋物線的對稱軸為直線x=2，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且點A的坐標為（-1，0）．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）將拋物線圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折，保留拋物線在x軸上的點和x軸上方圖象，得到的新圖象與直線y=t恒有四個交點，從左到右四個交點依次記為D，E，F，G．當以EF為直徑的圓過點Q（2，1）時，求t的值；

（3）在拋物線上，當m≤x≤n時，y的取值范圍是m≤y≤7，請直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t的值為；（3）x的取值范圍是或．

【解析】

（1）拋物線的對稱軸是x=2，且過點A（-1，0）點，∴

，即可求解；
（2）翻折后得到的部分函數解析式為：y=-（x-2）2+9=-x2+4x+5，（-1＜x＜5），新圖象與直線y=t恒有四個交點，則0＜t＜9，由

解得：解得，，即可求解；
（3）分m、n在函數對稱軸左側、m、n在對稱軸兩側、m、n在對稱軸右側時，三種情況分別求解即可．

（1）拋物線的對稱軸是x=2，且過點A(-1，0)點，∴，解得：，

∴拋物線的函數表達式為：；

（2）解：∵，∴x軸下方圖象翻折后得到的部分函數解析式為：=(-1＜x＜5)，其頂點為(2，9)．

∵新圖象與直線y=t恒有四個交點，∴0＜t＜9．

設E(x1，y1)，F(x2，y2)．

由得，

解得，

∵以EF為直徑的圓過點Q(2，1)，∴，

即，解得．

又∵0＜t＜9，∴t的值為；

（3）x的取值范圍是：或．